9. Σύστημα Συντεταγμένων

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

18 Μάρτιος 2026

1

Θεωρία και ασκήσεις για το σύστημα ημιαξόνων στο 1ο τεταρτημόριο.

1.1 Θεωρητικό Υπόβαθρο

1. Ορισμός Συστήματος Ημιαξόνων Ένα ορθοκανονικό σύστημα ημιαξόνων αποτελείται από δύο ημιευθείες, την \(Ox\) και την \(Oy\), οι οποίες είναι κάθετες μεταξύ τους στο σημείο \(O\).

  • Αρχή των ημιαξόνων: Είναι το σημείο \(O(0,0)\).
  • Ημιάξονας των τετμημένων (\(Ox\)): Ο οριζόντιος ημιάξονας.
  • Ημιάξονας των τεταγμένων (\(Oy\)): Ο κατακόρυφος ημιάξονας.
  • Ορθοκανονικό: Ονομάζεται έτσι γιατί οι άξονες είναι κάθετοι («ορθό-») και έχουν την ίδια μονάδα μέτρησης («-κανονικό»).

2. Το Διατεταγμένο Ζεύγος (Συντεταγμένες) Κάθε σημείο \(M\) στο επίπεδο προσδιορίζεται από ένα διατεταγμένο ζεύγος αριθμών \((x, y)\), όπου η σειρά έχει σημασία.

  • Τετμημένη (\(x\)): Ο πρώτος αριθμός, που δείχνει την απόσταση από τον άξονα \(Oy\).
  • Τεταγμένη (\(y\)): Ο δεύτερος αριθμός, που δείχνει την απόσταση από τον άξονα \(Ox\).

3. Διαδικασία Εντοπισμού και Εύρεσης

  • Εύρεση σημείου από συντεταγμένες: Ξεκινάμε από το \(O\), κινούμαστε δεξιά στον \(Ox\) κατά \(x\) μονάδες και μετά πάνω παράλληλα στον \(Oy\) κατά \(y\) μονάδες.
  • Εύρεση συντεταγμένων από σημείο: Φέρνουμε κάθετες από το σημείο προς τους άξονες. Το σημείο τομής με τον \(Ox\) μας δίνει την τετμημένη και με τον \(Oy\) την τεταγμένη.

1.2 10 Λυμένες Ασκήσεις (Αναλυτικά)

Άσκηση 1: Εντοπισμός σημείου \(A(3, 4)\)

  • Διαδικασία: Ξεκινάμε από το \(O(0,0)\). Κινούμαστε δεξιά στον άξονα \(Ox\) μέχρι τον αριθμό \(3\). Από εκεί, κινούμαστε κατακόρυφα προς τα πάνω κατά \(4\) μονάδες.
  • Πράξεις: Τετμημένη \(x=3\), Τεταγμένη \(y=4\). Το σημείο τομής των βοηθητικών κάθετων γραμμών είναι το \(A\).

Άσκηση 2: Σημείο στον άξονα \(Ox\)

* Εκφώνηση: Τοποθετήστε το σημείο \(B(5, 0)\).

* Διαδικασία: Κάθε σημείο στον άξονα \(Ox\) έχει τεταγμένη \(y=0\).

* Πράξεις: Κινούμαστε στον \(Ox\) δεξιά κατά \(5\) μονάδες. Επειδή \(y=0\), το σημείο παραμένει πάνω στον άξονα.

Άσκηση 3: Σημείο στον άξονα \(Oy\)

* Εκφώνηση: Τοποθετήστε το σημείο \(\Gamma(0, 6)\).

* Διαδικασία: Κάθε σημείο στον άξονα \(Oy\) έχει τετμημένη \(x=0\).

* Πράξεις: Επειδή \(x=0\), δεν κινούμαστε δεξιά. Κινούμαστε μόνο πάνω στον \(Oy\) κατά \(6\) μονάδες.

Άσκηση 4: Εύρεση συντεταγμένων από σχήμα

* Εκφώνηση: Ένα σημείο \(M\) απέχει \(2\) μονάδες από τον άξονα \(Oy\) και \(5\) μονάδες από τον άξονα \(Ox\). Βρείτε τις συντεταγμένες του.

* Διαδικασία: Η απόσταση από τον \(Oy\) είναι η τετμημένη \(x\) και η απόσταση από τον \(Ox\) είναι η τεταγμένη \(y\).

* Πράξεις: \(x = 2\), \(y = 5\). Άρα \(M(2, 5)\).

Άσκηση 5: Σχεδίαση γεωμετρικού σχήματος

* Εκφώνηση: Ενώστε τα σημεία \(O(0,0), A(4,0), B(4,3), \Gamma(0,3)\). Τι σχήμα προκύπτει;

* Διαδικασία: Τοποθετούμε τα σημεία και τα ενώνουμε διαδοχικά.

* Πράξεις: Οι πλευρές \(OA\) και \(\Gamma B\) είναι οριζόντιες (μήκος \(4\)), οι \(O\Gamma\) και \(AB\) κατακόρυφες (μήκος \(3\)). Το σχήμα είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.

Άσκηση 6: Παραμετρική εύρεση (Σημείο στον \(Ox\))

* Εκφώνηση: Αν το \(M(2x-8, 0)\) είναι το σημείο \(B(4, 0)\), βρείτε το \(x\).

* Διαδικασία: Εξισώνουμε τις τετμημένες αφού οι τεταγμένες είναι ήδη \(0\).

* Πράξεις: \(2x - 8 = 4 \Rightarrow 2x = 4 + 8 \Rightarrow 2x = 12 \Rightarrow x = 6\).

Άσκηση 7: Παραμετρική εύρεση (Σημείο στον \(Oy\))

* Εκφώνηση: Το σημείο \(A(x-3, 5)\) βρίσκεται στον ημιάξονα \(Oy\). Βρείτε το \(x\).

* Διαδικασία: Στον άξονα \(Oy\), η τετμημένη πρέπει να είναι \(0\).

* Πράξεις: \(x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\). Το σημείο είναι το \(A(0, 5)\).

Άσκηση 8: Ευθεία παράλληλη στον \(Ox\)

Εκφώνηση: Τα σημεία \(A(2, 4)\) και \(B(x, 4)\) βρίσκονται σε ευθεία παράλληλη στον \(Ox\). Τι παρατηρείτε;

* Διαδικασία: Όλα τα σημεία σε ευθεία παράλληλη στον \(Ox\) έχουν την ίδια τεταγμένη \(y\).

* Πράξεις: Επαληθεύεται ότι \(y_A = y_B = 4\). Η τετμημένη \(x\) μπορεί να είναι οποιοσδήποτε θετικός αριθμός.

Άσκηση 9: Μέσο ευθυγράμμου τμήματος στον \(Ox\)

* Εκφώνηση: Βρείτε το μέσο του τμήματος με άκρα \(K(2, 0)\) και \(L(8, 0)\).

* Διαδικασία: Επειδή τα σημεία είναι στον \(Ox\), βρίσκουμε το μέσο της απόστασης των τετμημένων.

* Πράξεις: Απόσταση \(= 8 - 2 = 6\). Μισή απόσταση \(= 6 : 2 = 3\). Τετμημένη μέσου \(= 2 + 3 = 5\). Άρα \(M(5, 0)\).

Άσκηση 10: Υπολογισμός εμβαδού

* Εκφώνηση: Βρείτε το εμβαδόν του τετραγώνου με κορυφές \(A(1,1), B(3,1), \Gamma(3,3), \Delta(1,3)\).

* Διαδικασία: Υπολογίζουμε το μήκος της πλευράς από τη διαφορά των συντεταγμένων.

* Πράξεις: Πλευρά \(AB = 3 - 1 = 2\) μονάδες. Εμβαδόν \(E = \pi\lambda\epsilon\upsilon\rho\alpha^2 = 2 \times 2 = 4\) τετραγωνικές μονάδες.

1.3 10 Άλυτες Ασκήσεις (Μόνο 1ο Τεταρτημόριο)

  1. Σχεδιάστε ένα ορθοκανονικό σύστημα ημιαξόνων με μονάδα \(1 \, cm\) και τοποθετήστε τα σημεία: \(A(1, 2), B(4, 5), \Gamma(6, 3), \Delta(0, 5)\).
  2. Βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων που βρίσκονται \(4\) μονάδες δεξιά από τον \(Oy\) και πάνω στον άξονα \(Ox\).
  3. Αν το σημείο \(A(3x-12, 8)\) βρίσκεται στον άξονα των τεταγμένων (\(Oy\)), υπολογίστε την τιμή του \(x\).
  4. Σημειώστε τα σημεία \(K(2, 2), \Lambda(6, 2), M(6, 6), N(2, 6)\). Ενώστε τα και ονομάστε το σχήμα που προκύπτει.
  5. Ποια είναι η τεταγμένη κάθε σημείου που ανήκει στον ημιάξονα \(Ox\); Δώστε τρία παραδείγματα τέτοιων σημείων.
  6. Ένα σημείο \(P\) έχει συντεταγμένες \((5, 3)\). Ποιο είναι το σημείο που προκύπτει αν αυξήσουμε την τετμημένη του κατά \(2\) και μειώσουμε την τεταγμένη του κατά \(1\);
  7. Τα σημεία \(A(4, \alpha)\) και \(B(4, 7)\) βρίσκονται σε ευθεία παράλληλη στον άξονα \(Oy\). Τι μπορείτε να πείτε για την τετμημένη τους;.
  8. Τοποθετήστε τα σημεία \(A(1, 1), B(5, 1), \Gamma(3, 5)\). Ενώστε τα και βρείτε τι είδους τρίγωνο σχηματίζεται (χρησιμοποιήστε χάρακα για να μετρήσετε τις πλευρές).
  9. Αν ένα σημείο \(M\) ξεκινά από την αρχή \(O(0,0)\), κινείται \(7\) μονάδες δεξιά και \(0\) μονάδες πάνω, ποιες είναι οι τελικές του συντεταγμένες;
  10. Βρείτε την απόσταση μεταξύ των σημείων \(A(3, 2)\) και \(B(9, 2)\) πάνω στο επίπεδο.